Descubren Dos Nuevas Formas de Infinito

• Un hallazgo revolucionario en el campo de las matemáticas

• Científicos han identificado dos tipos inéditos de infinitos, abriendo nuevas posibilidades en la teoría matemática y replanteando cómo entendemos lo ilimitado

Redacción/CAMBIO22

¿Cómo se trata el “infinito” desde las matemáticas? Imaginemos que hay un hotel con infinitas habitaciones, llamémosle Hotel Hilbert. El alojamiento está al máximo de su capacidad: hay infinitos huéspedes, cada uno acomodándose en un cuarto. Entonces ocurre algo inesperado: llega una persona solicitando con urgencia una habitación. Aunque el hotel está lleno, el recepcionista no se desanima y pide a los infinitos huéspedes recorrerse a la habitación con el número siguiente al que están ocupando, y coloca al nuevo en la número 1. Poco después surge otro problema, llegan un sinfín de personas pidiendo estancia, ahora el recepcionista les pide a los inquilinos que se muden a una habitación con el doble del número que estaban ocupando, y los recién llegados se instalan en las habitaciones con los números impares que acaban de quedar libres. Con un poco de imaginación y repitiendo “infinito” constantemente, se puede demostrar que siempre habrá sitio para todos en el Hotel Hilbert, aunque lleguen infinitos autobuses, cada uno con infinitos turistas.

Este experimento mental fue creado por el matemático alemán David Hilbert para ilustrar las propiedades a veces contraintuitivas del concepto de infinito, que puede ampliarse arbitrariamente sin agotar nunca el espacio disponible. Sin embargo, existe un factor que lo complica: no hay un “solo infinito”. Por extraño que parezca, esto es así, y lo sabemos desde hace mucho tiempo. En 1878, el matemático George Cantor demostró que “algunos infinitos eran más infinitos que otros”. Observó que el conjunto infinito de los número naturales (1,2,3, etc.) es de algún modo “menos infinito” que el conjunto de los números reales: enteros, racionales e irracionales; es como si el primero fuera un infinito “menos denso” que el segundo.

El panorama actual podría cambiar esto; un grupo de matemáticos de la Universidad Tecnológica de Vienna descubrió dos tipos de infinito que podrían alterar las reglas de Cantor [que dicen de algún modo que siempre hay más números decimales que enteros]. Los nuevos infinitos: “cardinales exactos” y “ultra exactos”.

Una casa con infinitas casas en su interior

“Históricamente los matemáticos han llegado a nociones de infinito cada vez más complejas, que luego se han puesto en una especie de jerarquía”, explica a la revista New Scientist Juan Aguilera, uno de los autores del estudio. La novedad es que Aguilera y sus colegas identificaron dos nuevas dimensiones infinitas, llamadas “cardinales exactos” y “ultra exactos”, que no encajan en la jerarquía existente, y de hecho, “interactúan de una manera muy extraña con las otras nociones de infinito”.

Los autores definen estos nuevos conjuntos prediciendo que ambos contienen copias matemáticas exactas de sí mismos, como una casa que contiene múltiples modelos de tamaño natural de la misma casa, y copias matemáticas “reducidas” de conjuntos mayores, como si la casa también encerrara modelos del barrio o de la ciudad. Además, los ultra exactos también contienen las reglas matemáticas que definen cómo hacerlo: estas “reglas extrañas”, pero totalmente legítimas cuando se trata del infinito, son las que provocan el “desquiciamiento” de las jerarquías actuales.

El problema de la elección

La jerarquía de infinitos se basa en un conjunto de reglas básicas o “axiomas” sintetizadas en la llamada “Teoría Axiomática de Zermelo-Fraenkel”. Uno de ellos, el “axioma de elección”, refuerza que siempre es posible construir un nuevo conjunto de números eligiendo cifras de otro conjunto, aunque no indica cómo seleccionar dichos dígitos. Según algunos matemáticos, este axioma no funcionaría en el caso de conjuntos infinitos, precisamente porque deja indefinido el problema de la elección.

Sin embargo, ahora el axioma se acepta incluso para los conjuntos infinitos, y se utiliza para “organizar” los infinitos en tres regiones de complejidad y profundidad crecientes. El problema es que los cardinales exactos y los ultra exactos no pueden situarse en ninguna de estas tres regiones: “Es un completo caos, no está claro si están en una “región intermedia” o si están en una cuarta región nueva, con reglas y axiomas diferentes”, resalta Aguilera.

Es abstracto pero también es interesante porque hay cuestiones mucho más grandes e importantes ligadas a la solución del problema, en particular la llamada “Conjetura de Hodge”, una hipótesis aún no demostrada sobre la validez del axioma de elección para conjuntos de infinitos particularmente “densos”. “Si la existencia de cardinales exactos fuera aceptada por la comunidad matemática, significaría que la conjetura de Hodge podría ser falsa y, por tanto, reinaría el caos”, concluye el experto de la Universidad de Berkeley, Gabriel Goldberg.

Fuente: Wired

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